Dyskusja:Przestrzeń zupełna
Przeniosłam. To mętnoty jakieś są... 4@ 22:45, 29 kwi 2006 (CEST)
Intuicja
[edytuj kod]Przestrzeń zupełna z jednej strony jest dostatecznie ogólnym pojęciem, z drugiej posiada bardzo konkretną i pożyteczną własność: możemy w niej definiować pewne obiekty jako granice ciągów Cauchy'ego. Własność ta przydaje się w wielu rozumowaniach matematycznych - często potrzebne jest bowiem wykazanie istnienia jakiegoś obiektu o ustalonych cechach.
Za pomocą pojęcia przestrzeni zupełnej można także zdefiniować liczby rzeczywiste - jako najmniejszą przestrzeń zupełną z metryką euklidesową, zawierającą liczby wymierne.
Pojęcie zupełności wykorzystywane jest szczególnie często w analizie funkcjonalnej (patrz przestrzeń Banacha).
Najmniejsza przestrzeń
[edytuj kod]Ad "Intuicja". Nie rozumiem określenia "najmniejsza przestrzeń". Sądzę, że także w dyskusji warto byłoby zachować ścisłość matematyczną. W przeciwnym bowiem razie pozostajemy na gruncie czasem zawodnej intuicji co dla jakości tekstów dotyczących pojęć matematycznych na pewno nie wychodzi im na dobre.
Błędy merytoryczne
[edytuj kod]- W zdaniu "każdy zbieżny ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni" są dwa błędy. Nie można zakładać zbieżności, bo to właśnie o zbieżność ciągów Cauchy'ego chodzi. "Ma granicę w punkcie" to dziwna zbitka, nieużywana w takim kontekście, bo granicą jest punkt właśnie. Zbitka kojarzy się z pojęciem granicy funkcji w punkcie, co jest dodatkowo mylące.
- W definicji niezupełności znowu mowa o ciągach zbieżnych, a tym razem chodzi przecież o niezbieżność. Przykład z liczbami wymiernymi jest mylący, bo miesza przestrzeń liczb wymiernych z przestrzenią liczb rzeczywistych.
- Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, ale nie ze względu na zbieżność ciągów (tę można zdefiniować w dowolnej przestrzeni topologicznej, choć z różnym efektem), tylko ze względu na ciągi Cauchy'ego (ten problem można obejść np. w przestrzeniach liniowo-topologicznych, ale w ogólności nie).
- Pojęcie zwartości nie jest analogiczne do zupełności. Obecna wzmianka sugeruje, że to jakiś analog w świecie przestrzeni topologicznych, co byłoby bzdurą (już dla podzbiorów liczb rzeczywistych można zobaczyć, że to są różne pojęcie).
Jak znajdę czas, to to poprawię (tzn. w większości - usunę). --Michał Miśkiewicz (dyskusja) 22:59, 23 cze 2021 (CEST)